《架空输电线路设计讲座》第4章 67页

架空输电线路设计第四章均布荷载下架空线的计算 原因：弧垂和应力直接影响着线路的正常平安运行，线长的微小变化和误差都会引起弧垂和应力相当大的改变。因此设计适宜的弧垂是十分重要的。f振动加剧，断股；↓→σ↑杆塔荷载↑→塔重↑；↑对地安全距离↓→杆塔高度↑→塔重↑；风摆、舞动和跳跃↑→塔头尺寸↑→塔重↑。线路力学研究的主要内容：架空线的弧垂、应力和线长。 第一节　架空线悬链线方程的积分普遍形式一、二点假设1.柔性线假设：架空线只能承受拉力而不能承受弯矩。2.荷载沿架空线线长在某一平面内均布。根据这二个假设，悬挂在两基杆塔间的架空线呈悬链线形状。（1）档距比架空线的截面尺寸大得多，线长要远远大于其直径（2）多采用多股细金属线构成的绞合线原因 二、悬链线微分方程如图，在架空线上任取一点C，取长为LOC的一段架空线作为研究对象，根据力的平衡方程式，有结论架空线上轴向应力的水平分量处处相等架空线上任一点轴向应力的垂向分量等于该点到弧垂最低点间线长LOC与比载γ之积以上二式相除可得或〔4-3〕结论：γ/σ0一定时，架空线上任一点处的斜率与该点至弧垂最低点间的线长成正比。在弧垂最低点O处θ=0。 三、悬链线方程的积分普遍形式将式〔4−3〕写成两边微分分离变量后两端积分式中C1、C2为积分常数，其值取决于坐标系的原点位置。或写成（4−4）上式两端积分，得（4−5） 第二节　等高悬点架空线的弧垂、线长和应力等高悬点：是指架空线的两个悬挂点高度相同。一、等高悬点架空线的悬链线方程1、将坐标原点取在弧垂最低点；2、定C1、C2：3、悬链线方程：将C1、C2的值代回式〔4−5〕，并加以整理得（4−6）（3）适用于不等高悬点.注意：（1）等高悬点架空线的悬链线具体形状完全由比值σ0/γ决定（2）比载γ一定的情况下，架空线的水平轴向应力σ0是决定悬链线形状的唯一因素.当x=0时，，可解得C1=0；当x=0时，y=0，利用C1=0，解得. 二、等高悬点架空线的弧垂1、定义：架空线上任一点的弧垂是指该点距两悬点连线的垂向距离。2、计算式：〔1〕架空线任一点x处的弧垂fx：而所以（4−8） 利用恒等式对上式进行变换，可以得到〔2〕在档距中央〔最大弧垂〕fm，此时x=0或x1=l/2，所以（4−8‘）除非特别说明，架空线的弧垂一般指的是最大弧垂。最大弧垂在线路的设计、施工中占有十分重要的位置。（4−9） 三、等高悬点架空线的线长或记为整档架空线的线长L（4−10）结论：在档距l一定时，架空线的线长仅为比值的函数。 四、等高悬点架空线的应力1、轴向应力：架空线上任一点C处的应力指的是该点的轴向应力，其方向同该点线轴方向。轴向应力σx可视为水平应力σ0和垂向应力σγ=γLOC的合成。任一点的应力:根据恒等变换，可得（4−11）2、悬挂点A、B处应力（4−12）如果用弧垂表示，那么为结论：等高悬点处架空线的应力等于其水平应力和作用在其上的比载与中央弧垂的乘积的和。 【例4-1】某档等高悬点架空线，档距l=500m，导线为LGJ−150／25。在某气象条件下导线的使用应力〔最低点应力〕σ0=63.504MPa，比载γ=34.047×10−3MPa/m，试求该气象条件下导线的弧垂、线长和悬挂点应力及垂向分量。【解】双曲函数可采用下面公式：(1)公用项计算：（m）（1/m） 从上例可以看出，线长仅仅比档距相差1.48m，增大约3.0‰，但弧垂却到达了16.787m，说明线长的微小变化会引起弧垂的很大变化，对此应给予足够的重视。（2）架空线的弧垂、线长和应力（m）（m）（MPa）（MPa） 第三节不等高悬点架空线的弧垂、线长和应力不等高悬点：高差：同一档距两悬挂点间的高度差。高差角：两悬挂点连线与水平面的夹角。一、不等高悬点架空线的悬链线方程原点位于左侧悬挂点处1、定C1、C2：当x=a时，，求得C1=－a；当x=0时，y=0，求得 再将C1、C2之值代回到式〔4−5〕，有〔4−13〕将x=l时y=h的边界条件代入式〔4−13〕，可以得到上式中反双曲函数一项的分母，实际上就是式〔4−10〕表示的等高悬点架空线的档内悬链线长度，记为Lh=0，即〔4−10"〕所以〔4−14〕〔4−15〕 由于上式代入式〔4−13〕，便可得到坐标原点位于左悬点时的不等高悬点架空线的悬链线方程为: 当h=0时，即得到坐标原点位于左悬挂点时的等高悬点的架空线悬链线方程（4−16）（4−17） 1、不等高悬点架空线任一点处的弧垂为等高悬点h=0时，有这与式〔4−8’〕是一致的。（4−18）二、不等高悬点架空线的弧垂 2、档距中央弧垂：在档距中央x=l/2，代入式〔4−18〕并化简后得到档距中央弧垂的计算式（4−19）3、最低点弧垂：出现在x=a处，代入任一点弧垂公式〔4−18〕并注意到式〔4−14〕，适当整理后得（4−20）同式（4−19）相比较，上式可写成（4−20"） 4、最大弧垂:出现在处，即解得出现最大弧垂的位置〔4−21〕Lh=0l，所以xml/2结论不等高悬点架空线的最大弧垂不在档距中央。最大弧垂位于档距中央稍偏向高悬点一侧的位置。将式〔4−21〕代入任一点弧垂公式〔4−18〕，可求得不等高悬点的最大弧垂为〔4−22〕 与式〔4−19〕比较，上式可表示为〔4−22"〕上式两个小括号内的值均为正值且均小，前者略大于后者，所以最大弧垂大于档距中央弧垂，但二者非常接近。对于等高悬点架空线，有上式说明，等高悬点时的最大弧垂、档距中央弧垂和最低点弧垂三者重合，位于档距中央。 三、不等高悬点架空线的线长不等高悬点架空线的线长可利用弧长微分公式通过积分求得。根据式〔4−4〕有〔4−23〕所以架空线上任一点至左悬挂点间的线长为〔4−24〕当x=l时，即得到整档线长〔4−25〕 将x=l代入式〔4−13〕，有〔4−26〕将式〔4−25〕的平方减去上式的平方由上式可以看出，高差h的存在，使得不等高悬点架空线的线长大于等高悬点时的线长。〔4−27〕所以 四、不等高悬点架空线的应力1．任一点处的应力架空线的水平应力σ0时，任一点的应力可表示为〔4−28〕在档距中央x=l/2，那么〔4−29〕 2．架空线上任两点应力之间的关系架空线最低点0处的纵坐标值为从中解得由式〔4−13〕可以解得将上式代入式〔4−28〕，求得架空线上任一点的应力与最低点的应力和二点间的高差之间的关系。〔4−30〕 如果档距内架空线上的任意两点x1、y1和x2、y2，那么相应的应力σ1和σ2为两式相减可得〔4−31〕结论：档内架空线上任意两点的应力差等于该两点间的高度差与比载之乘积。显然，档内相对高度越高，该点架空线的应力就越大。在同一档内，最大应力发生在较高悬挂点处。 3．架空线悬挂点处的应力悬挂点A、B的横坐标分别为x=0、x=l，代入式〔4−28〕求得悬挂点应力σA、σB为〔4−32〕 4．悬挂点架空线的倾斜角和垂向应力悬挂点处架空线的倾斜角是指该点架空线的切线与x轴间的夹角，如图4−3中的θA和θB。倾斜角的正切即为该点架空线的斜率。将x=0和x=l分别代入式〔4−23〕得到〔4−33〕注意：低悬挂点处架空线的倾斜角θA可正可负，为正值表示该点架空线向上倾斜（上扬），为负值表示向下倾斜。高悬点处的倾斜角θB则始终为正值。在架空线的水平应力σ0和倾斜角θA和θB时，悬挂点应力的垂直分量为〔4−34〕 说明悬挂点处正好是架空线的最低点，架空线不承受垂向力的作用。σγA>0σγA<0σγA=0注意：上式的第一式中的负号，是为保证悬挂点垂向应力向上时为正值而加的。悬挂点的垂向应力正值时，说明该悬点承受下压力。悬挂点处架空线的垂向应力也可根据其比载与该悬点至弧垂最低点间线长的乘积来求得。高悬点的垂向应力总为正值，所以高悬点总是承受下压力。说明架空线的弧垂最低点位于档内。说明该悬挂点承受上拔力，架空线的弧垂最低点落在档距之外低悬点垂向应力 【例4-2】某档架空线，档距l=400m，高差h=100m，最大使用应力σ0=98.1MPa，相应的比载γ=61.34×10−3MPa/m。试计算架空线的三种弧垂、线长和档距中央应力、悬挂点应力及其垂向分量。【解】〔1〕先计算公用项的值（m）；（1/m）（m） （m）（m）a为负值，说明弧垂最低点落在档距之外。〔2〕计算各种弧垂中央弧垂（m） 由于架空线弧垂最低点位于档距以外，最低点弧垂无实际意义，不再予以计算。最大弧垂(m)最大弧垂发生在xm处(m) 低悬点应力（MPa）（3）计算线长由式（4−27）求得全档线长(m)（4）计算应力档距中央应力（MPa）高悬点应力（MPa） 由计算知:档距中央弧垂与最大弧垂非常接近，相差很小。一般情况下，以中央弧垂近似作为最大弧垂具有足够的精度，工程上常这样做以减少计算工作量。通常也可认为最大弧垂位于档距中央。低悬挂点处的垂向应力σγA为负值，说明此处架空线上扬，悬挂点受上拔力作用，也说明弧垂最低点在档距以外。线长413.323m，档距400m，悬点处垂向应力（MPa）（MPa）斜档距？412.311m。线长比斜档距长1.019m，0.247%。 第四节架空线弧垂、线长和应力计算公式的简化公式简化的一般途径：1〕数学方法：将悬链线有关公式中的双曲函数展开成级数和，根据要求的精度取其前假设干项作为近似值，加以整理而得到。2〕从假设入手：对架空线的荷载分布给出简化假设，导出一套简化公式——斜抛物线和平抛物线的有关公式。 一、斜抛物线法假定架空线的比载沿斜档距均匀分布。1．斜抛物线悬挂曲线方程〔不等高悬点架空线〕坐标系：选取坐标原点位于较低悬点A处，x轴垂直于比载，y轴平行于比载，如下图。 对AC段架空线列A点的力矩平衡方程式，有〔4−35〕对BC段架空线列B点的力矩平衡方程式，有〔4−36〕上两式联立消去未知量σγx，解得架空线斜抛物线悬挂曲线方程式为〔4−37〕上式是在假定比载沿“斜档距〞均布的条件下推出的，且为x的二次函数，图象呈抛物线形状，工程上顾名思义地称为斜抛物线方程，以便与后面将要讲到的平抛物线方程相区别，而并非表示该抛物线是歪斜的。 2．斜抛物线弧垂公式〔1〕任一点处的弧垂为：〔4−38〕〔2〕档距中央弧垂为：〔4−39〕〔3〕最大弧垂：令式〔4−38〕对x的导数等于零，可得最大弧垂发生在x=l/2处即档距中央，其最大弧垂与档距中央弧垂重合，即〔4−39"〕〔4〕任一点的弧垂可档距中央弧垂表示为：〔4−40〕 ①对称性：令x’=l－x代入上式仍可得到相同的形式，说明斜抛物线弧垂是关于档距中央对称的。②与高差的无关性：任一点处的弧垂与高差h没有直接关系。对于同一档距，在档距中央弧垂相等的情况下，等高悬点和不等高悬点架空线对应点的弧垂相等，如图示。〔5〕任一点处弧垂的特点：〔6〕最低点弧垂：架空线上任一点的斜率为〔4−41〕令dy/dx=0，解得架空线最低点距悬点A、B的距离在x轴上的投影〔水平距离〕分别为（4−42）（4−43） 将式〔4−38〕中的x用式〔4−42〕的a值代替，可得到架空线最低点弧垂为（4−44）或写成（4−44"） 〔7〕悬挂点与最低点的高差：在采用“平视法〞观测弧垂时，需要知道悬挂点与最低点的高差。架空线最低点的纵坐标：（4−45）低悬点A与最低点O之间的高差为（4−46）高悬点B与最低点O之间的高差为（4−47）利用上两式观测弧垂时，必须保证最低点落在档内。 3．斜抛物线应力公式〔1〕任一点处的垂向应力联立式〔4−35〕和式〔4−36〕，消去纵坐标y，可得任一点C处架空线轴向应力的垂向分量σγx为〔4−48〕〔2〕低悬点A〔x=0〕处的垂向应力为〔4−49〕在架空线最低点O处，σγ0=0〔3〕高悬点B〔x=l〕处的垂向应力为〔4−50〕式（4−49）的负号是为保证悬点处垂直应力向上时为正而加的由σγA、σγB的计算式知道，悬点处的垂向应力等于架空线最低点至悬点间的架空线单位截面荷载值 〔4〕任一点处的轴向应力架空线任一点处的轴向应力等于该点处的水平应力和垂向应力的矢量和，即应用近似公式进行化简，有〔4−51〕根号下方括号一项的绝对值一般小于1 〔5〕架空线档距中央〔x=l/2〕的轴向应力：〔4−52〕（4−53）〔6〕两点间的应力关系：任一点应力可由档距中央处有关数据表示为结论：档距中央架空线的切线与斜档距平行，该点称为斜切点。用倾斜角θ表示的任一点处的应力为σx=σ0/cosθ，可以看出，在档距中央架空线的倾斜角等于高差角，即θ=β。 说明：架空线任一点的应力由两局部组成：一局部是档距中央应力σl/2，一局部是该点与档距中央的高度差引起的应力γ(y−yl/2)。如果架空线上任意两点处的应力为σ1、σ2，相应的纵坐标为y1、y2，根据式〔4−53〕可得到与式〔4−31〕相同的架空线任意两点间的应力关系，即〔4−31"〕悬点A、B处的轴向应力可分别令x=0和x=l，代入式〔4−51〕得到（4−54）（4−55）说明： 工程上还采用另一种悬点应力简化计算公式。由于yA=0，yB=h，根据两点间的应力关系，可以得到〔4−56〕〔4−57〕〔7〕最低点应力用悬点应力表示将式〔4-55〕的两端分别乘以σ0，整理后得到上式是关于σ0的一元二次方程，解之得〔4−58〕 4．斜抛物线的线长公式架空线的线长L可由弧长微分公式积分求得 简化：考虑到线长需要较高的精度，采用近似式，所以近似：由于γ/σ0的值为千分之几〔1/m〕，因此在上式展开式中略去含有γ/σ0的3、4次幂的微量项后，所得公式仍有足够的精度。故（4−60） 二、平抛物线法假设：比载γ沿档距l均布，如下图。在此假设下推导出的架空线有关计算公式统称为平抛物线公式，以便与γ在斜档距lAB上均布假设下导出的有关公式相区别。 平抛物线线长公式的修正：推导出的平抛物线线长公式的精度偏低，其值偏大，通常采用其修正式。导出的平抛物线线长公式为（4−61）对上式运用的关系进行修正，有（4−62）上式的计算值比精确值偏大，用于小应力的跳线计算具有足够的精度。 常用悬链线公式、斜抛物线公式、平抛物线公式汇总于书上表4−1中。等高悬点的有关公式可由不等高悬点相应公式中令高差h=0而得到，故未在表中列出。 三、三类计算公式的精度分析以悬链线有关公式的计算结果为精确值，分析斜抛物线和平抛物线相应公式的精度。在一般情况下，小高差〔h/l≤0.1〕档距可采用平抛物线公式，大高差〔0.1＜h/l≤0.25〕档距可采用斜抛物线公式，其它情况下应采用悬链线公式。1．线长公式的精度分析2．弧垂公式的精度分析 第五节　架空线的平均高度与平均应力问题1：如何确定大跨越档的导线风荷载？——平均高度。问题2：计算架空线的弹性伸长——平均应力。图4-9一、架空线的平均高度1、定义：是指架空线上各点相对弧垂最低点的高度差对于档距的平均值。2、大小：等于架空线上各点与弧垂最低点间的高差沿档距的积分被档距除得的商。3、公式：在图4-9中，架空线的平均高度为hcp 3、平均高度hcp的斜抛物线形式利用式〔4−37〕、〔4−45〕沿档距积分，有（4−64）上式中一项为档距中央架空线高出弧垂最低点的距离。从式中可以看出，架空线的平均高度位于档距中央架空线以上fm/3处，如图4-9所示。 1、定义：架空线的平均应力是指架空线上各点的应力沿线长的积分对于线长的平均值。2、公式：档内架空线在平均应力σcp作用下产生的弹性伸长，等于架空线在实际应力σx分布下的全部弹性伸长。即二、架空线的平均应力3、斜抛物线形式：将架空线的平均应力视为其上各点应力σx沿斜档距lAB=l/cosβ的积分对于斜档距的平均值，那么 将式〔4–51〕代入，得（4–66）4、说明：〔1〕式中σ0/cosβ项为档距中央架空线应力的近似值，γfm/3可看作是由距离档距中央架空线高差fm/3引起的应力。〔2〕架空线的平均应力实际上就是架空线平均高度处的应力。〔3〕考虑到γfm/3与σ0/cosβ相比甚小，因此除特大弧垂外，一般以档距中央应力σl/2近似代替平均应力以便于计算。 第六节　均布垂直比载和水平比载共同作用下架空线的计算假设：〔1〕水平风压比载沿斜档横向均匀分布；〔2〕垂直比载沿斜档距垂向均匀分布。那么综合比载必沿斜档距均布，其大小和方向处处相同。研究问题的方法：〔1〕风偏平面法：综合比载作用下，柔性架空线风偏后，必然位于综合比载所在平面内。这样，均布垂直比载和水平比载共同作用下架空线的有关计算，实际上成为风偏平面内具有沿斜档距均布综合比载的斜抛物弧垂、应力和线长的计算问题。〔2〕投影平面法：分别计算垂直平面和水平面的有关参数，再进行合成得到投影平面内的数据。 一、风偏平面内架空线的弧垂、应力和线长(4−67)不等高悬点架空线风偏后的受力情况如以下图所示，图中l为档距，h为高差。无风时，架空线仅受垂直比载v的作用，位于垂直平面AEBD内，悬挂曲线如虚线ACB所示。有风时，架空线受综合比载"的作用，绕AB轴转动，平衡时位于风偏平面AE"BD"内，悬挂曲线为图中实线AC"B。风偏角的概念：风偏平面与垂直平面间的夹角称为风偏角。垂直比载v、水平比载h、综合比载‘，那么vh‘ 风偏平面内各参数与垂直平面内各参数的关系为(4−68)风偏后，架空线位于风偏平面内，受到沿斜档距lAB均布的综合比载"的作用。假设己知道风偏平面内的档距l’、高差h"、最低点O"的轴向应力σ0"，代入有关斜抛物线公式即可得到风偏平面内架空线的弧垂、应力和线长。 风偏平面内架空线上任一点的弧垂fx"，为该点沿综合比载γ"作用方向至斜档距lAB的距离，其大小为(4−69)风偏平面内档距中央的最大弧垂为(4−70) 风偏平面内任一点的轴向应力为(4−71)将x=0，x=l分别代入式〔4−71〕即可得到悬挂点A、B处架空线的轴向应力为(4−72) 风偏后，两悬点A、B处沿综合比载γ"方向上的应力分量σ"γ"A、σ"γ"B与σ"0相垂直，大小为风偏平面内架空线的悬挂曲线长度可将式〔4−68〕代入式〔4−60〕得到(4−73)(4−74) 二、有风时垂直、水平投影面内的弧垂和应力计算如图4−11所示，将风偏平面内的架空线向垂直平面x～y投影，投影曲线ACB上仅作用有垂直比载v、悬挂点垂直应力分量σvA和σvB，线路方向的水平应力分量σ0A=σ0B=σ0。将风偏平面内的架空线向水平面x～z投影，投影曲线A""C""B""上仅作用有横向水平比载γh、垂直于线路方向的悬挂点水平应力σhA和σhB、顺线路方向的水平应力σ0。 1．架空线垂直投影面内的弧垂和应力在垂直投影面内，档距为l、高差为h、高差角为β，垂直比载v沿斜档距均布，水平应力为σ0，显然符合斜抛物公式的导出条件，故可直接写出架空线风偏后在垂直投影面的斜抛物线有关计算式为 其中av、bv为垂直投影面内架空线最低点O分别到悬挂点A、B间的水平距离。需要注意的是O点并不是风偏平面内架空线最低点O"的投影。设a"在x轴上的投影值为a"v，那么 由于a"v＞av，说明垂直投影面内的最低点O比风偏平面内架空线最低点O"更靠近低悬挂点。2．架空线水平投影面内的弧垂和应力在水平投影平面内，两悬挂点为等高悬点。两悬点连线lAB的水平投影即为档距l，其上作用着均布比载。根据平抛物线公式，可直接写出风偏后架空线在水平投影面内的弧垂和应力计算公式为 上面σhA、σhB的算式说明，悬挂点横向水平应力为水平比载与斜档距乘积的一半。在得到垂直、水平投影面内架空线的有关数值后，风偏平面内的各具有方向性的数值亦可用分量合成的方法求得。