《架空输电线路设计讲座》第5章 53页

第五章气象条件变化时架空线的计算架空输电线路设计 第一节架空线的状态方程式架空线的线长和弧垂有关计算公式是比载、应力的函数。当气象条件发生变化时，线长、弧垂、应力发生相应变化。不同气象条件〔状态〕下架空线的各参数之间存在着一定的关系。状态方程式：揭示架空线从一种气象条件〔第一状态〕改变到另一种气象条件〔第二状态〕下的各参数之间关系的方程。一、根本状态方程式1、假设：〔1〕架空线为理想柔线。〔2〕架空线上的荷载均匀分布。〔3〕架空线为完全弹性体。 2、导出：〔1〕原始长度L0：架空线在无应力、制造温度t0的原始状态下的长度L0。〔2〕悬挂曲线长度L：悬挂于档距为l，高差为h的两悬点A、B上，架空线具有气温t、比载γ、轴向应力σx，此时悬挂曲线长度L。〔3〕长度变化的原因：由于温度变化，架空线产生热胀冷缩；由于施加有轴向应力，架空线产生弹性伸长。设架空线的线性温度膨胀系数为，弹性系数为E，原始长度的微元dL0，新的状态下为dL，那么 对上式沿架空线线长进行积分（5−1）从架空线的悬挂长度L中减去弹性伸长量和温度伸长量，即可得到档内架空线的原始线长。 那么两种状态下的架空线悬挂曲线长度折算到同一原始状态下的原始线长相等，所以:（5−2）第一状态l1、h1、t1、γ1、σ01、σcp1、L1第二状态l2、h2、t2、γ2、σ02、σcp2、L2气象条件变化不同状态下的架空线悬挂曲线长度，折算到原始状态下在原始线长相等。结论 二、悬链线状态方程式将线长L、平均应力σcp的悬链线公式〔4−27〕、〔4−65)代入式〔5−2〕，略加整理，就可得到悬挂点不等高时的悬链线状态方程式为〔5−3〕分别为两种状态下架空线弧垂最低点处的应力分别为两种状态下架空线所在平面内的档距分别为两种状态下不考虑高差（即令h1=0、h2=0）时的架空线线长分别为两种状态下架空线所在平面内的高差角分别为两种状态下的温度架空线的制造温度悬点等高时：h1=0、h2=0，tgβ1=0、tgβ2=0，那么上式变为：〔5−4〕 考虑风荷载时：可将式〔5−3〕、〔5−4〕中的各参数代以风偏平面内的参数，得到有风时的悬链线状态方程式，感兴趣的读者可自行导出。悬链线状态方程式比较复杂，仅适用于计算机求解，其结果通常作为精确值去评价其它近似公式的精度。三、斜抛物线状态方程式将斜抛物线线长L及平均应力σcp代入式〔5−2〕，便得到架空线的斜抛物线状态方程式为（5−5） 假设档距、高差的大小可认为不变，即l1=l2=l、h1=h2=h〔β1=β2=β〕时，将上式展开并加以整理后得 计算分析说明，上式中右端各项的结果与左端各项相比可忽略不计，那么有〔5−6〕此式是斜抛物线状态方程式的近似式，但近似过程弥补了斜抛物线公式的误差，因此精度很高。对于重要跨越档或高差很大的档距，也能够满足工程要求。成为最常用的不等高悬点架空线状态方程式，通常就称为斜抛物状态方程式，或简称为状态方程式。状态方程式主要用途：可由状态Ⅰ的参数l1、h1〔或β1〕、γ1、σ01、t1，计算状态Ⅱ参数l2、h2〔或β2〕、γ2、σ02、t2中的任意一个，一般是求取应力σ02。 〔2〕以档距中央轴向应力表示的状态方程式：〔两端除以cosβ〕〔5−8〕结论：假设以架空线中央应力代替最低点应力，那么不等高悬点和等高悬点架空线的斜抛物线状态方程式具有相同的形式。换句话讲，架空线中点应力的斜抛物线状态方程式消除了高差的影响，使计算简化。〔5−7〕〔1〕等高悬点的斜抛物线状态方程式 〔3〕风压比载作用下斜抛物线状态方程式为（5−9）1、2—分别为两种状态下架空线的风偏角。γ‘1、γ’2—分别为两种状态下架空线的综合比载。注意：虽然式中γ‘1、γ’2均为综合比载，但σ01、σ02仍为架空线顺线路方向的水平应力分量，即垂直平面内的最低点应力，不能把σ01、σ02误认为风偏平面内架空线最低点的应力。当利用上式求出有风状态下顺线路方向的水平应力σ02后，欲想知道风偏平面内架空线最低点的应力或悬挂点应力，需将σ02代入式〔4−68〕或式〔4−72〕求得。 四、状态方程式的解法令那么〔5−10〕上述一元三次方程中，A、B为数，且A可正可负，B永远为正值，其应力σc2必有一个正的实数解，下面讨论该实数解的求法。整理得 将式〔5−10〕两端同除以〔A0〕，并令那么式〔5−10〕变为假设A为正值，C、x、均为正值；A为负值，C、x为负值。根据这一特点，在A、C的情况下，可以采用试凑的方法解出x，然后再换算出σc2。熟练以后，试凑法求解还是比较快的。1．试凑法 迭代初值，计算出新的应力值；再以此应力值作为新的初值，代入迭代公式求出；……；反复进行下去，直至＜δ为止。δ为一个很小的正数，如10－4。（2）迭代过程：（n=0，1，2，…）（1）迭代式：x=f(x)。将式（5−10）变形为2．迭代法 〔3〕修正的迭代式：在A为负值的情况下，假设前后两次迭代值变化较大，有可能致使迭代式的根号内出现负值，使迭代无法继续下去。这时可减小迭代值的变化量，即以下式作为新的迭代初值其中k一般为不小于2的整数。 给出迭代初值，算出，利用上式迭代求出，反复进行下去，直至为止。利用计算机运算时，可采用精确公式〔5−3〕或〔5−6〕编制通用程序求解。其导数为则牛顿迭代式为令3．牛顿法yxf(x)牛顿法的思想： 第二节临界档距一、临界档距的概念1、控制气象条件：在某种气象条件下，架空线的应力到达最大至许用值，这一气象条件称为控制气象条件。架空线的应力与比载γ、气温t有关，还与档距l的大小有关。在其它条件相同的情况下，档距不同，出现最大应力的控制气象条件也可能不同。二种特殊情况：〔1〕档距很小时：根据等高悬点架空线的状态方程式〔5−7〕，当档距很小趋于零时，两种状态的状态方程式为： 〔2〕当档距很大时：将〔5−7〕两端除以，并令档距l趋于无限大，状态方程式变为：结论：在档距很小时，架空线的应力变化仅决定于温度而与比载的大小无关，因此对于小档距架空线，最低气温将成为控制条件。结论：在档距很大时，架空线的应力变化仅决定于比载而与温度无关。因此对于大档距架空线，最大比载气象条件将成为控制条件。推论：在档距l由零逐渐增大至无限大的过程中，必然存在这样一个档距：气温的作用和比载的作用同等重要，最低气温和最大比载时架空线的应力相等，即最低气温和最大比载两个气象条件同时成为控制条件。 2、临界档距：两个及以上气象条件同时成为控制条件时的档距称为临界档距，用lij表示。实际上，有可能使应力到达许用值的气象条件是：最低气温、最大风速、最厚覆冰和年平均气温四种，为可能成为控制条件，是设计时必须考虑的。二、临界档距的计算条件：在临界档距lij下，可能控制气象条件的架空线应力到达各自的许用值。把一种控制条件作为第一状态，其比载为γi，温度为ti，应力到达允许值[σ0]i。另一种控制条件作为第二状态，相应参数分别为γj、tj、[σ0]j。临界状态下li=lj=lij，代入状态方程式〔5−6〕得 解之，得临界档距的计算公式为〔5−11〕无高差时〔5−12〕 假设两种控制条件下的架空线许用应力相等，即[σ0]i=[σ0]j=[σ0]，那么上二式分别为（5−13）（5−14）和 三、有效临界档距的判定与控制气象条件可能成为控制条件的最低气温、最大风速、最厚覆冰和年均气温之间，存在六个临界档距，但真正起作用的有效临界档距最多不超过三个。设计时，需要判别出有效临界档距，从而得到实际档距的控制气象条件。判定有效临界档距的方法很多，这里介绍图解法和列表法。1．图解法〔1〕控制条件与Fi值1〕设有n个可能成为控制条件的气象条件，其相应的比载、气温和水平应力分别为γi、ti、和[σ0]i〔i=1，2，…，n〕。对于等高悬点的同一档距l，假设将这n个条件分别作为条件，某个比载γ、气温t、水平应力σ0x的气象条件作为待求条件，那么可列出n个条件和待求条件之间的状态方程式为 整理得令〔5−15〕则（5−16） 2〕假设以σ0x为待求量，利用式〔5−16〕可求出n个σ0x，其中必有一个最小值，设其为σ0xk〔与第k个气象条件对应〕。3〕假设视σ0xk为，σ0i为未知，反求n个可能控制条件的σ0i时，必可求得σ0k=[σ0]k，而σ0i＜[σ0]i〔i≠k〕，因此第k个气象条件为该档距下的控制条件，或使σ0x最小的为控制气象条件，从式〔5−16〕进而知Fi最大者为控制气象条件。4〕结论：当有多种气象条件可能成为控制条件时，值Fi最大者是该档距下的应力控制条件，其余气象条件不起控制作用。 〔2〕Fi曲线的特点第i个可能控制条件的比载γi、气温ti和应力[σ0]i时，Fi曲线是档距l的函数，是一条抛物线。将式〔5−15〕对l求导，得从式中可以看出：1〕Fi曲线对l的一阶导数与l成正比，且始终为正值，说明Fi曲线是单调递增的，且随l的增大上升得越来越快。当l=0时，所有气象条件的dFi/dl=0，切线水平，为一极值点。〔5−17〕 2〕Fi曲线对l的一阶导数仅取决于比值γi/[σ0]i，γi/[σ0]i大者上升的快。由此可知：①l=0时，记Fi值为F0i，那么F0i中最大者所对应的气象条件，必然为应力控制条件。②在l的过程中，γi/[σ0]i较大者的Fi值上升较快。当l足够大后，由于γi/[σ0]i最大者的Fi必为最大，所以相应的气象条件必成为应力控制条件。③如果F0i和γi/[σ0]i中的最大值对应的是同一气象条件，该气象条件的Fi值在所有档距下必为最大，那么该气象条件控制所有档距。④如果某两种气象条件的F0i相同，那么二者中γi/[σ0]i较小者对应的气象条件必不起控制作用。⑤如果某两种气象条件的γi/[σ0]i相同，那么二者中F0i较小者的Fi值始终小于较大者的Fi值，F0i较小者对应的气象条件不可能成为控制条件。 〔3〕利用Fi曲线判定有效临界档距假设可能成为控制条件的有最低气温、年均气温、覆冰有风和最大风速四种气象，相应的Fi曲线为a、b、c和d，如下图。可以看出，曲线族的上包络线的Fi最大，为控制气象条件曲线。两两曲线的交点为临界档距，其中上包络线的交点lab、lbc、lcd为有效临界档距，其余的交点lac、lad、lbd为无效临档距。 假设n条Fi曲线均彼此相交，由于所有的Fi=f〔l〕曲线均为单调递增的，故n个不同的控制条件，共有n−1个有效临界档距。假设n条Fi曲线均互不相交，那么所有档距均为位于最上方曲线所对应的气象条件控制，即γi/[σ0]i最大者控制。图解法判定有效临界档距，直观易行，但受作图比例所限以及曲线间的交叉角太小，不易准确读出有效临界档距的数值，因此通常与利用式〔5−12〕的计算配合起来应用。2．列表法步骤如下：〔1〕计算各种可能控制气象条件的γi/[σ0]i值，并按该值由小到大编以序号a、b、c、……。如果存在γi/[σ0]i值相同的条件，那么计算其F0i值，取F0i值较大者编入顺序，较小者因不起控制作用不参与判别。在这种编号情况下，后面的〔序号大的〕可能控制气象条件的Fi曲线上升得较快。 〔2〕计算可能控制条件之间的临界档距，并按编号a、b、c、……的顺序排成下表的形式〔表中考虑了四种可能控制条件的情况〕。abcdlablacladlbclbdlcd—表5−2有效临界档距判别表〔3〕判别有效临界档距1〕先从γi/[σ0]i最小的a栏开始，如果该栏的临界档距均为正的实数，那么最小的临界档距即为第一个有效临界档距〔假设为lac〕，其余的都应舍去。该有效临界档距lac是a条件控制档距的上限，c条件控制档距的下限。 2〕有效临界档距lac两个下标a、c之间的条件不起控制作用，即字母b代表的条件栏被跨隔，因此对第二个下标代表的条件栏进行判别，方法如上。3〕如果在某条件栏中，存在临界档距值为虚数或0的情况，那么该栏条件不起控制作用，应当舍去。 【例5−1】有一条通过非典型气象区的220kV线路，导线采用钢芯铝绞线LGJ−400/35，某档距l=230m，试确定此档导线在无高差〔h/l=0〕、小高差〔h/l=0.1〕和大高差〔h/l=0.2〕情况下的控制条件。【解】1、可能成为控制条件的是最低气温、最大风速、覆冰有风和年均气温，整理该非典型气象区4种可能控制条件的有关气象参数，列于表5−3中。表5−3可能控制气象条件有关参数气象项目最低气温最大风速覆冰有风年均气温气温（℃）−20−5−5+15风速（m/s）030100冰厚（mm）00100 2、查附录A，得到导线LGJ−400/35的有关参数，整理后列于表5−4中。截面积A（mm2）导线直径d（mm）弹性系数E（MPa）温膨系数（1/℃）计算拉断力Tj（N）单位长度质量q（kg/km）强度极限σp（MPa）安全系数k许用应力[σ]（MPa）年均应力上限[σcp]（MPa）425.2426.826500020.5×10−61039001349232.112.592.80.25σp=583、计算有关比载及γ/σ值，比载的结果列于表5−5中，γ/σ值列于表5−6中。γ1(0,0)γ2(10,0)γ3(10,0)γ4(0,30)γ5(10,10)γ6(0,30)γ7(10,10)31.11×10−324.01×10−355.12×10−329.27×10−38.26×10−342.71×10−355.73×10−3αf=0.75μsc=1.1αf=1.0，μsc=1.2表5−4导线LGJ−400/35有关参数表5−5有关比载计算结果单位：MPa/m 最低气温、最大风速、覆冰有风的许用应力为92.8MPa，年均气温的许用应力为58.0MPa。由于该气象区的最大风速和覆冰气象的气温相同，二者中比载小的不起控制作用，故不再把最大风速作为可能控制气象条件。气象条件最低温覆冰有风年均气温γ/σ0.3351×10−30.6002×10−30.5361×10−3排序acb表5−6比值γ/σ计算结果及其排序表单位：1/m4、计算临界档距三种不同的高差情况分别有cosβ0=1，cosβ0.1=0.995，cosβ0.2=0.98。利用公式〔5−13〕，可以算得不同高差下的临界档距如表5−7所示。 5、判定有效临界档距，确定控制条件。表5−7有效临界档距判别表高差h/l00.10.2气象条件abcabcabc临界档距（m）lab=157.9lac=172.5lbc=203.4—lab=157.5lac=173.3lbc=206.6—lab=156.2lac=176.0lbc=216.3—根据列表法可知，无高差时的有效临界档距为lab=157.9m和lbc=203.4m，当档距0